Mi van a matematikában?
Mielőtt belevágunk az ismétlésbe, nézzük meg madártávlatból az egészet. Bármilyen bonyolultnak tűnik is egy feladat, mindig ugyanabból az öt építőkőből áll. Kattints rájuk!
Minden matekfeladat — a legelsőtől az érettségiig — ebből az öt építőkőből áll össze: számok, ismeretlenek, műveletek, relációk, mértékegységek. Ha egy feladat ijesztőnek tűnik, először azonosítsd: mi benne a szám, mi az ismeretlen, milyen műveletek és relációk szerepelnek?
Így állj neki bármelyik feladatnak
Ez a négy lépés mindig működik, a legegyszerűbb példától a versenyfeladatig:
- Mi a kérdés? — Mit keresünk? Ez lesz az ismeretlen. Írd is le: „x = a póló ára".
- Mik az adatok? — Gyűjtsd ki a számokat a mértékegységeikkel együtt. Ha nem azonos egységben vannak, először válts!
- Mi köti össze őket? — Keresd meg a kapcsolatot: ez lesz a művelet vagy az egyenlet (a reláció).
- Ellenőrizz! — Az eredményt helyettesítsd vissza, és kérdezd meg magadtól: életszerű ez egyáltalán? (Egy alma nem kerülhet 45 000 Ft-ba.)
„3 kg alma 900 Ft-ba kerül. Mennyibe kerül 5 kg?"
Számok: 3; 900; 5 · Mértékegységek: kg, Ft · Ismeretlen: az 5 kg ára (jelöljük x-szel) · Műveletek: osztás (1 kg ára), szorzás · Reláció: az egyenlőségjel: x = (900 : 3) · 5 = 1500 Ft.
Látod? A „nagy" feladat öt ismerős építőkőre esett szét. Mindig így csináld.
Kattints egy elemre, majd arra a csoportra, ahová tartozik.
Számok
Az első építőkő. Milyen fajta számok vannak, hogyan férnek el mind a számegyenesen, és mi az az abszolút érték?
Számhalmazok — egyre bővülő körök
Természetes számok (ℕ): 0, 1, 2, 3, … — amikkel számolni kezdtél.
Egész számok (ℤ): a természetes számok és a negatívjaik: … −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 …
Racionális számok (ℚ): minden szám, ami felírható két egész szám hányadosaként (törtként). Ide tartozik minden tört és minden véges vagy szakaszos tizedes tört is.
A körök egymásban vannak: minden természetes szám egész is, és minden egész szám racionális is. A −3 tehát egész és racionális, de nem természetes. A ¾ csak racionális.
Ugyanaz a szám — több alakban
A 34, a 0,75 és a 75% ugyanaz a szám, csak más ruhában. Átjárás:
- Tört → tizedes tört: oszd el a számlálót a nevezővel (3 : 4 = 0,75).
- Tizedes tört → tört: a tizedesjegyek száma adja a nevezőt (0,75 = 75100 = 34).
Törtek kezelése — a három alapfogás
Egyszerűsítés: a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal osztod — a tört értéke nem változik: 68 = 34 (mindkettőt 2-vel osztottuk).
Bővítés: ugyanez visszafelé — mindkettőt ugyanazzal szorzod: 23 = 812.
Közös nevező: összeadni és kivonni csak azonos nevezőjű törteket lehet — bővítsd őket a nevezők közös többszörösére:
Szorzás: számlálót számlálóval, nevezőt nevezővel: 23 · 35 = 615 = 25. Osztás: a másodikat fordítsd meg (reciprok), és szorozz: 12 : 14 = 12 · 41 = 2.
Tizedes törtek — helyiérték és kerekítés
A tizedesvessző után sorban: tized, század, ezred. A 3,472-ben a 4 tizedet, a 7 századot, a 2 ezredet ér.
Kerekítés szabálya: nézd meg az első elhagyandó jegyet. Ha 0–4: lefelé (marad), ha 5–9: felfelé kerekítünk. Egészre: 3,47 ≈ 3, mert az első elhagyandó jegy a 4. Egy tizedesre: 3,47 ≈ 3,5, mert az első elhagyandó jegy a 7.
- Hozd őket azonos alakra: 34 = 0,75, tehát −34 = −0,75.
- Negatívoknál az a nagyobb, amelyik közelebb van a nullához: −0,75 közelebb van, mint −0,8.
- Tehát −34 > −0,8. (Pozitívan 0,75 < 0,8 lenne — a mínusz megfordítja a sorrendet!)
Ellentett és abszolút érték
Ellentett: a szám tükörképe a 0-ra nézve. A 7 ellentettje a −7, a −4 ellentettje a 4.
Abszolút érték: a szám távolsága a nullától — ezért soha nem negatív. |−12| = 12 és |12| = 12.
Műveletek és szabályaik
Mit csinálunk a számokkal, milyen sorrendben szabad, és milyen tulajdonságokra építhetünk?
A műveletek rangsora
Ha egy kifejezésben több művelet van, nem balról jobbra számolunk, hanem rang szerint:
Az azonos rangú műveleteket (pl. szorzás és osztás) balról jobbra végezzük el.
Hatványozás
A hatványozás ismételt szorzás: 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16. A 2 az alap, a 4 a kitevő.
Műveleti tulajdonságok — amikre építhetsz
- Felcserélhetőség (kommutativitás): a + b = b + a és a · b = b · a. Kivonásra és osztásra nem igaz!
- Csoportosíthatóság (asszociativitás): (a + b) + c = a + (b + c) — összeadásnál és szorzásnál mindegy, mit végzel el előbb.
- Széttagolhatóság (disztributivitás): a · (b + c) = a·b + a·c. Ez lesz a zárójelfelbontás alapja az algebrában.
Negatív számokkal
Szorzásnál és osztásnál az előjelek szabálya:
Kivonni annyi, mint az ellentettet hozzáadni: 5 − (−3) = 5 + 3 = 8.
Oszthatóság, prímek, lnko és lkkt
Oszthatósági szabályok: 2-vel: páros a vége · 3-mal: a számjegyek összege osztható 3-mal · 5-tel: 0-ra vagy 5-re végződik · 9-cel: a számjegyek összege osztható 9-cel · 10-zel: 0-ra végződik.
Prímszám: pontosan két osztója van (1 és önmaga): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…
lnko — legnagyobb közös osztó: a legnagyobb szám, ami mindkettőt osztja. lkkt — legkisebb közös többszörös: a legkisebb szám, ami mindkettőnek többszöröse. Mindkettő a prímtényezős felbontásból olvasható ki.
Bontsuk fel a 24-et és a 36-ot: mindig a legkisebb prímmel kezdj osztani, amíg 1-et nem kapsz.
24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2³ · 3 36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 2² · 3²
- lnko(24; 36): a közös prímtényezők a kisebb kitevővel: 2² · 3 = 12.
- lkkt(24; 36): minden előforduló prím a nagyobb kitevővel: 2³ · 3² = 72.
- Ellenőrzés: 12 osztja mindkettőt ✓, 72 többszöröse mindkettőnek ✓.
Mire jó? Az lnko az egyszerűsítéshez kell (2436 = 23), az lkkt a közös nevezőhöz.
Azonos alapú hatványok
Ha az alap ugyanaz, szorzásnál a kitevők összeadódnak:
Miért? Egyszerűen megszámoltuk, hány darab kettes szorzódik össze: 3 + 4 = 7 darab. Nem kell bemagolni — mindig le tudod vezetni.
Normálalak — nagy számok röviden
A nagyon nagy számokat így írjuk: egy 1 és 10 közötti szám szorozva 10 valamelyik hatványával.
A 10 kitevője azt mutatja, hány helyet „ugrott" a tizedesvessző. Ellenőrzés fejben: 4,5 · 1000 = 4500 ✓. A Föld–Nap távolság kb. 1,5 · 10⁸ km — ugye, hogy jobb, mint a 150 000 000?
Relációk
Rövid, de fontos fejezet: a relációs jelek nem díszek, hanem állítások. Ez alapozza meg az egyenleteket is.
Öt jel — öt állítás
| Jel | Állítás | Példa |
|---|---|---|
| = | a két oldal ugyanaz az érték | 3 + 4 = 7 |
| < | a bal oldal kisebb | −5 < 2 |
| > | a bal oldal nagyobb | 0,8 > 0,35 |
| ≠ | a két oldal nem egyenlő | 3 + 4 ≠ 8 |
| ≈ | közelítőleg egyenlő (pl. kerekítés) | 3,47 ≈ 3,5 |
Egy reláció igaz vagy hamis állítás. A „3 + 4 = 8" nem „rossz egyenlet", hanem egy hamis állítás. Az egyenletmegoldás lényege: megkeresni, milyen érték teszi igazzá az állítást.
Trükkös összehasonlítások
- Negatív számoknál a számegyenes dönt: −3 > −5, mert jobbra van.
- Törtet és tizedes törtet közös alakra hozva hasonlíts: 12 = 0,5, tehát 12 > 0,45.
- Két tört: közös nevezővel, vagy tizedes törtté alakítva.
Az egyenlőtlenség a számegyenesen
Az x < 5 nem egy számot jelöl, hanem végtelen sokat: minden számot, ami a számegyenesen az 5-től balra van (4; 0; −3; 4,99…). Ezért mondjuk, hogy az egyenlőtlenség megoldása egy tartomány.
A 2 ≤ x < 6 kettős egyenlőtlenség egy szakaszt jelöl: x lehet 2 (a ≤ megengedi), de 6 már nem (a < kizárja). Egész számokból ezek: 2, 3, 4, 5 — azaz négy darab.
A < és a ≤ nem ugyanaz! A < kizárja, a ≤ megengedi az egyenlőséget. Feladatoknál mindig nézd meg, melyik áll ott — egy darab egész számon múlhat a megoldás.
Becslés — a ≈ jel a hétköznapokban
Vásárlásnál nem számolod ki forintra a kosarat: 1890 + 2110 ≈ 1900 + 2100 = 4000. A becslés nem lustaság, hanem ellenőrző eszköz: ha a pontos számolásod nagyon eltér a becsléstől, valahol hiba van.
Jó szokás: minden írásbeli szorzás előtt becsülj! 38 · 52 ≈ 40 · 50 = 2000 (pontosan: 1976 — a becslés jelezte volna, ha véletlenül 19 760 jön ki).
Mértékegységek
Miért kellenek, mit jelent valójában az átváltás, és hogyan válts hibátlanul?
Miért kell mértékegység — és miért kell váltani?
Az „5" önmagában csak egy szám. Az „5 km" már a világról szól. A mértékegység mondja meg, miből mérünk mennyit.
Az átváltás nem változtatja meg a mennyiséget — ugyanazt mondjuk el más „nyelven". A 2,4 km és a 2400 m ugyanaz a távolság. Váltáskor csak a szám és az egység változik, együtt, ellentétes irányban: kisebb egység → nagyobb szám.
Váltani azért kell, mert számolni csak azonos egységben lehet: 1 m + 30 cm nem 31 valami, hanem 100 cm + 30 cm = 130 cm.
A váltószámok
| Mennyiség | Egységek (nagyról kicsire) | Szomszédos váltószám |
|---|---|---|
| hosszúság | km · m · dm · cm · mm | km→m: 1000, utána 10 |
| tömeg | t · kg · dkg · g | t→kg: 1000, kg→dkg: 100, dkg→g: 10 |
| idő | óra · perc · másodperc | 60 és 60 (nem 10-es rendszer!) |
| űrtartalom | hl · l · dl · cl · ml | hl→l: 100, utána 10 |
| terület | km² · ha · m² · dm² · cm² · mm² | szomszédok közt 100 (1 ha = 10 000 m²) |
| térfogat | m³ · dm³ · cm³ · mm³ | szomszédok közt 1000 |
Kapocs a térfogat és az űrtartalom között: 1 liter = 1 dm³, 1 ml = 1 cm³.
Hány mm a 3,2 m?
- Rajzold fel fejben a láncot: m → dm → cm → mm, minden lépés · 10.
- Három lépés = · 10 · 10 · 10 = · 1000.
- 3,2 · 1000 = 3200 mm. (A tizedesvessző három hellyel jobbra ugrott.)
Visszafelé ugyanez osztással: 4500 mm = 4500 : 1000 = 4,5 m. A vessző ugyanannyi helyet ugrik, csak balra.
Az idő nem tízes rendszerű!
Itt a leggyakoribb a hiba, mert 60-nal kell váltani: 1 óra = 60 perc, 1 perc = 60 másodperc.
Vegyes alakot mindig bonts szét: 1 óra 25 perc = 60 + 25 = 85 perc. És fordítva: 140 perc = 120 + 20 = 2 óra 20 perc.
Melyik egységgel mérnéd? — a józan ész próbája
| Ezt… | …ebben mérd | Nagyságrend-érzék |
|---|---|---|
| ceruza hossza | cm | kb. 15 cm |
| két város távolsága | km | tízestől százasig |
| alma tömege | dkg | kb. 15–20 dkg |
| szoba területe | m² | kb. 12–20 m² |
| kád űrtartalma | l | kb. 150 l |
| pohár üdítő | dl | 2–3 dl |
Válasz után mindig kérdezd meg: életszerű a szám? Ha egy ceruza hossza 1500-nak jön ki, az nem cm, hanem valószínűleg mm — vagy elszámoltad.
Ismeretlenek és algebrai kifejezések
A betű nem varázslat: egy szám, aminek még nem tudjuk (vagy nem rögzítjük) az értékét.
Mi az az x?
Az x egy doboz, amiben egy szám lapul. A 3x + 2 egy recept: „vedd a dobozban lévő szám háromszorosát, és adj hozzá 2-t". A 3 az x együtthatója (a 3x rövidítés: 3 · x).
Ha megmondjuk, mi van a dobozban, a kifejezés kiszámolható — ez a helyettesítési érték: ha x = 4, akkor 3x + 2 = 3 · 4 + 2 = 14.
Összevonás — csak az egyneműeket!
Az egynemű tagok (ugyanaz a betűrész) összevonhatók: 3x + 5x = 8x, 7a − 2a = 5a. A 3x + 2 viszont nem vonható össze 5-té — az x-es és a szám tag nem egynemű.
Miért működik? A széttagolhatóság miatt: 3x + 5x = (3 + 5) · x = 8x. Ugyanez több változóval: a 4a + 2b + 3a kifejezésben csak az a-sok vonhatók össze: 7a + 2b — az a-k „almák", a b-k „banánok", nem keverednek.
Szorzás és kiemelés
Szorzás számmal: 2 · 3x = 6x (a számok összeszorzódnak, a betű marad).
Kiemelés — a zárójelfelbontás visszafelé: keresd meg a tagok közös osztóját, és emeld ki:
Ellenőrizni mindig tudsz: bontsd vissza a zárójelet, és ugyanazt kell kapnod, amiből indultál.
Mennyi a 2x + 3 értéke, ha x = −4?
- Írd be az x helyére zárójelben: 2 · (−4) + 3. A zárójel véd a előjelhibától!
- Szorzás előbb: 2 · (−4) = −8.
- −8 + 3 = −5.
A leggyakoribb hiba a zárójel elhagyása — abból lesz a 2 · −4 + 3 „olvashatatlan" kifejezés és az előjeltévesztés.
Zárójelfelbontás
A széttagolhatóság (disztributivitás) miatt a zárójel előtti szorzó minden tagra vonatkozik:
Ha a zárójel előtt mínusz áll, a zárójelben minden tag előjele megfordul:
Szövegből kifejezés
| Szöveg | Kifejezés |
|---|---|
| egy szám kétszerese | 2x |
| egy számnál 5-tel nagyobb | x + 5 |
| egy szám kétszeresénél 5-tel nagyobb | 2x + 5 |
| egy szám fele | x : 2 (azaz x2) |
Egyenletek és egyenlőtlenségek
Az egyenlet egy kétkarú mérleg. Egyetlen megsérthetetlen törvénye van — próbáld ki, mi történik, ha megszeged!
A mérlegelv — az egyenletek alaptörvénye
Az egyenlőségjel azt állítja: a két oldal ugyanaz az érték — mint egy egyensúlyban lévő mérleg két serpenyője.
Amit az egyik oldallal teszel, pontosan ugyanazt kell tenned a másikkal is. Adhatsz hozzá, kivonhatsz, szorozhatsz, oszthatsz (nullával osztani tilos!) — de mindig mindkét oldalon. Ha csak az egyiken teszed, az egyenlőség megszűnik: a mérleg felborul, és onnantól hamis állítással számolsz tovább.
A kék lapka az x (ismeretlen tömeg), a szürke korong 1 egység. Cél: maradjon egyetlen x az egyik oldalon.
A megoldás menete — lebontogatás
Cél: az x maradjon egyedül. Mindig azt a műveletet „hámozd le", ami a legkívül van — a fordított műveletével, mindkét oldalon:
| Lépés | Művelet |
|---|---|
| 2x + 3 = 11 | vonj ki 3-at mindkét oldalból |
| 2x = 8 | oszd el mindkét oldalt 2-vel |
| x = 4 | kész — és ellenőrizz: 2 · 4 + 3 = 11 ✓ |
Az ellenőrzés a megoldás része: helyettesítsd vissza az eredményt az eredeti egyenletbe. Ha a két oldal egyenlő, tényleg megoldottad.
3(x − 2) = 12
- Két út van, mindkettő jó. A) Bontsd fel a zárójelet: 3x − 6 = 12 → +6 mindkét oldalhoz → 3x = 18 → x = 6.
- B) Oszd el rögtön mindkét oldalt 3-mal: x − 2 = 4 → x = 6. (Itt ez a rövidebb!)
- Ellenőrzés az eredetiben: 3 · (6 − 2) = 3 · 4 = 12 ✓
5x + 2 = 3x + 10
- Cél: az x-esek az egyik, a számok a másik oldalra. Vonj ki 3x-et mindkét oldalból: 2x + 2 = 10.
- Vonj ki 2-t mindkét oldalból: 2x = 8.
- Ossz 2-vel: x = 4. Ellenőrzés: bal oldal 5·4+2 = 22, jobb oldal 3·4+10 = 22 ✓
Vedd észre: soha nem „átvittük" a 3x-et — kivontuk mindkét oldalból. Az „átviszem és előjelet vált" ökölszabály pontosan ezt rövidíti, de a mérlegelv az igazi magyarázat.
A három leggyakoribb egyenlethiba
- Csak az egyik oldalon műveletezel. A mérleg felborul — láttad fent. Minden lépést mindkét oldalon!
- Előjelhiba „átvitelkor". Ha a −7 megy át, +7 lesz belőle. Bizonytalanság esetén írd ki a teljes lépést: „+7 mindkét oldalhoz".
- Nem az eredeti egyenletben ellenőrzöl. Ha egy közbülső (esetleg már hibás) sorba helyettesítesz vissza, a hibát nem veszed észre.
Egyenlőtlenségek
Ugyanígy működnek, egy plusz szabállyal: ha negatív számmal szorzod vagy osztod mindkét oldalt, a relációs jel megfordul.
Az egyenlőtlenség megoldása általában nem egy szám, hanem egy tartomány (pl. minden 5-nél nagyobb szám).
Szöveges feladat → egyenlet
Recept: 1) jelöld x-szel, amit keresel · 2) írd fel a szöveg állítását egyenletként · 3) oldd meg · 4) ellenőrizz a szöveg alapján.
„Gondoltam egy számot, megszoroztam 3-mal, hozzáadtam 4-et, és 19-et kaptam." → 3x + 4 = 19 → 3x = 15 → x = 5.
Arányosság és százalék
A hétköznapok matekja: árak, engedmények, receptek, munkamegosztás.
Egyenes és fordított arányosság
Egyenes: ha az egyik mennyiség kétszeresére nő, a másik is kétszereződik. (3 kg alma 900 Ft → 6 kg 1800 Ft.) A hányadosuk állandó.
Fordított: ha az egyik kétszereződik, a másik feleződik. (4 munkás 6 nap alatt végez → 8 munkás 3 nap alatt.) A szorzatuk állandó.
Százalék — a század részek nyelve
1% = a mennyiség század része. Három szereplő van:
| Név | Mi az? | Példában |
|---|---|---|
| alap | az egész (100%) | a 4000 Ft-os ár |
| százalékláb | hány százalék | 25% |
| százalékérték | ennyi az alap adott százaléka | 1000 Ft |
Bármelyik ismeretlent kiszámolhatod, ha a másik kettőt ismered — ez is csak egy egyenlet.
A fekete vonal a 100% (az alap). 100% fölött az érték nagyobb, mint az alap — pl. áremelésnél.
Emelés és csökkentés fejben
- 25% engedmény → az új ár az eredeti 75%-a: 4000 · 0,75 = 3000 Ft.
- 20% emelés → az új ár az eredeti 120%-a: 5000 · 1,2 = 6000 Ft.
Változás százalékban — mihez képest?
„Mennyivel nőtt az ár?" — a változást mindig a régi értékhez viszonyítjuk:
Példa: az ár 200-ról 250-re nőtt. Változás: 50, ez a régi 200-nak a 50200 = 0,25 = 25%-a.
Kamat — a százalék a bankban
Ha 10 000 Ft-ot beteszel évi 5% kamatra, egy év múlva a bank a betét 5%-át fizeti: 10 000 · 0,05 = 500 Ft kamat, azaz összesen 11 000 · … pontosabban 10 500 Ft lesz a számlán.
Ugyanez a matek az áremelésben, az árengedményben és a népességnövekedésben is — a százalékszámítás mindenhol ugyanaz a három szereplő: alap, százalékláb, százalékérték.
6 munkás 8 nap alatt fest ki egy iskolát. Hány nap kell 4 munkásnak?
- Ellenőrizd, tényleg fordított-e: fele annyi munkás → kétszer annyi idő? Igen, ez fordított arányosság.
- A szorzat állandó: 6 · 8 = 48 „munkásnap" — ennyi az összes munka.
- 4 munkással: 48 : 4 = 12 nap. (Ellenőrzés: 4 · 12 = 48 ✓)
Az arány önmagában
A 12 : 18 arány egyszerűsíthető, mint egy tört: mindkét tagot oszd el az lnko-jukkal (6): 2 : 3. Egy 2 : 3 arányú keverékben tehát minden 2 rész elsőhöz 3 rész második tartozik — összesen 5 egyforma rész. Ezért osztásnál: össz : (2+3) = egy rész.
Függvények
A függvény egy hozzárendelési szabály: minden bemenethez pontosan egy kimenetet rendel. A grafikon ezt rajzolja le.
Koordináta-rendszer
Két számegyenes egymásra merőlegesen: a vízszintes az x-tengely, a függőleges az y-tengely, metszéspontjuk az origó. Egy pont helyét számpár adja meg: P(3; 2) — először mindig az x, aztán az y.
A lineáris függvény
Grafikonja egyenes. Az a a meredekség: ha x eggyel nő, y ennyivel változik (negatív a → lejt az egyenes). A b azt mondja meg, hol metszi az egyenes az y-tengelyt.
Ha b = 0 (azaz y = a·x), az egyenes az origón megy át — ez éppen az egyenes arányosság grafikonja.
A teli pont az y-tengelymetszet (0; b). Figyeld, mit csinál külön az a és külön a b!
Leolvasás és behelyettesítés
„Mennyi f(3), ha f(x) = 2x − 1?" — helyettesíts: f(3) = 2 · 3 − 1 = 5. A grafikonon ez a (3; 5) pont.
„Rajta van-e a (2; 7) pont az y = 3x + 1 egyenesen?" — helyettesíts: 3 · 2 + 1 = 7 ✓ igen.
Egy egyenes átmegy a (0; 2) és az (1; 5) ponton. Mi az egyenlete?
- A (0; 2) az y-tengelyen van (x = 0), tehát b = 2.
- x = 0-ról x = 1-re lépve y 2-ről 5-re nőtt: a változás 3, tehát a meredekség a = 3.
- Az egyenlet: y = 3x + 2. Ellenőrzés a második ponttal: 3 · 1 + 2 = 5 ✓
Mit mesél a grafikon?
A grafikon egy történet. Egy út–idő grafikonon: meredeken emelkedő szakasz = gyors haladás; lapos, vízszintes szakasz = megálltunk (telik az idő, de nem nő az út); lefelé tartó szakasz = visszafelé jövünk.
Minél nagyobb az |a| (a meredekség nagysága), annál „gyorsabb" a változás. A negatív meredekség csökkenést jelent: az y = −2x + 8 egyenesen minden lépésnél 2-vel csökken az y — így fogy pl. a zsebpénz, ha naponta 2-t költesz a 8-ból.
Grafikonolvasásnál először mindig a tengelyeket nézd meg: mi van rajtuk és milyen egységben? A leggyakoribb hiba nem a matek, hanem a tengelyfelirat figyelmen kívül hagyása.
Síkgeometria
Szögek, a háromszögek és négyszögek teljes rendszere, sokszögek, kör — és a középpontos tükrözés.
Szögek
Fajták nagyság szerint: hegyesszög (< 90°), derékszög (90°), tompaszög (90° és 180° között), egyenesszög (180°), homorú szög (180° felett), teljesszög (360°).
Szögpárok — ezek adják a legtöbb feladatot:
- Csúcsszögek: két metsző egyenes „szemközti" szögei — mindig egyenlők.
- Kiegészítő szögek: összegük 180° (egy egyenesszöget osztanak ketté). Az 52° kiegészítője 128°.
- Pótszögek: összegük 90°. Az 52° pótszöge 38°.
- Egyállású szögek: párhuzamos szárú, azonos irányú szögek — egyenlők (párhuzamosokat metsző egyenesnél találkozol velük).
A háromszögek fajtái — két független szempont
Oldalak szerint:
- Általános: minden oldala különböző hosszú, minden szöge különböző.
- Egyenlő szárú: két oldala (a két szár) egyenlő; a harmadik az alap. Az alapon fekvő két szög mindig egyenlő, és a háromszög tengelyesen szimmetrikus (a tengely az alap felezőmerőlegese).
- Egyenlő oldalú (szabályos): minden oldala egyenlő, ezért minden szöge 60°. Három szimmetriatengelye van.
Szögek szerint:
- Hegyesszögű: mindhárom szöge 90°-nál kisebb.
- Derékszögű: egy szöge pontosan 90°. A derékszöget közrefogó két oldal a befogó, a derékszöggel szemközti — mindig a leghosszabb — oldal az átfogó.
- Tompaszögű: egy szöge 90°-nál nagyobb. (Két tompaszög nem fér el: az összeg túllépné a 180°-ot.)
A két szempont szabadon kombinálódik: létezik például egyenlő szárú derékszögű háromszög — szögei 90°, 45°, 45°. Egy háromszöget mindig mindkét szempontból tudsz jellemezni.
A háromszög magassága
Egy csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges szakasz. Minden háromszögnek három magassága van — a területképletbe mindig az adott oldalhoz tartozó kell.
Tompaszögű háromszögnél a magasság talppontja az oldal meghosszabbítására is eshet, azaz a magasság a háromszögön kívülre kerülhet — ezért mondjuk, hogy az oldal egyenesére merőleges.
Háromszögek
Háromszög-egyenlőtlenség: bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál — különben a két rövid oldal „nem ér össze". (2, 3 és 6 nem lehet háromszög: 2 + 3 < 6.)
Külső szög = a két nem mellette fekvő belső szög összege.
A négyszögek családfája
A négyszögeket a párhuzamos és az egyenlő oldalak rendszerezik — és a családok egymásba skatulyázódnak, mint a matrjoska-babák:
- Trapéz: van legalább egy párhuzamos oldalpárja. A párhuzamosak az alapok, a másik kettő a szárak. Külön nevezetes a húrtrapéz (egyenlő szárú trapéz): szárai egyenlők, tengelyesen szimmetrikus, az azonos alapon fekvő szögei egyenlők.
- Paralelogramma: két pár párhuzamos oldal. Szemközti oldalai egyenlők, szemközti szögei egyenlők, szomszédos szögei 180°-ra egészítik ki egymást. Átlói felezik egymást. Középpontosan szimmetrikus (az átlók metszéspontjára).
- Rombusz: olyan paralelogramma, amelynek minden oldala egyenlő. Örökli a paralelogramma összes tulajdonságát, plusz: átlói merőlegesen felezik egymást, és felezik a szögeit is. Két szimmetriatengelye van (az átlói).
- Téglalap: olyan paralelogramma, amelynek minden szöge derékszög. Plusz tulajdonság: átlói egyenlő hosszúak. Két szimmetriatengelye van (az oldalfelezők).
- Négyzet: egyszerre téglalap ÉS rombusz — minden oldala egyenlő és minden szöge 90°. Mindkét család összes tulajdonságát örökli: átlói egyenlők, merőlegesek, feleznek. Négy szimmetriatengely.
- Deltoid: két-két szomszédos oldala egyenlő (papírsárkány-alak). Átlói merőlegesek egymásra; a szimmetriaátlója felezi a másik átlót és a csúcsainál lévő szögeket. Tengelyesen szimmetrikus, de (általában) nem középpontosan. A rombusz valójában speciális deltoid is!
Jelölések az ábrákon: az azonos számú rovátka egyenlő hosszú szakaszokat, az azonos ívek egyenlő szögeket jelölnek; a narancssárga szaggatott vonalak az átlók, a szürke szaggatottak a szimmetriatengelyek; a kis négyzet derékszöget jelez; a > nyilak párhuzamos oldalpárt.
A tulajdonságok lefelé öröklődnek: a négyzet egyben téglalap, rombusz, paralelogramma és trapéz is. Ha egy feladat paralelogrammáról szól, minden paralelogramma-tulajdonság használható — akkor is, ha az ábrán épp négyzet van.
Négyszög-gyorstáblázat
| Alakzat | Oldalak | Szögek | Átlók | Szimmetria |
|---|---|---|---|---|
| paralelogramma | szemköztiek egyenlők | szemköztiek egyenlők | felezik egymást | középpontos |
| rombusz | mind egyenlő | szemköztiek egyenlők | merőlegesen feleznek | középpontos + 2 tengely |
| téglalap | szemköztiek egyenlők | mind 90° | egyenlők, feleznek | középpontos + 2 tengely |
| négyzet | mind egyenlő | mind 90° | egyenlők, merőlegesen feleznek | középpontos + 4 tengely |
| deltoid | 2-2 szomszédos egyenlő | 1 pár egyenlő | merőlegesek | 1 tengely |
| húrtrapéz | szárak egyenlők | alapon fekvők egyenlők | egyenlők | 1 tengely |
Kerület és terület
| Alakzat | Kerület | Terület |
|---|---|---|
| téglalap | K = 2(a + b) | T = a · b |
| négyzet | K = 4a | T = a² |
| paralelogramma | K = 2(a + b) | T = a · ma |
| rombusz | K = 4a | T = a · m vagy T = (e · f) : 2 |
| deltoid | K = 2(a + b) | T = (e · f) : 2 |
| háromszög | K = a + b + c | T = (a · ma) : 2 |
| trapéz | K = a + b + c + d | T = ((a + c) : 2) · m |
| kör | K = 2·r·π | T = r²·π |
Az e és f a két átló. A merőleges átlós képlet ((e·f) : 2) minden merőleges átlójú négyszögre — rombuszra és deltoidra — működik: a négyszög pontosan a fele annak az e × f-es téglalapnak, amibe be van írva.
π ≈ 3,14 — a kör kerületének és átmérőjének hányadosa, minden körnél ugyanannyi.
A terület-képletekben az m mindig az adott oldalhoz tartozó magasság — merőleges távolság, nem az oldal!
Honnan jönnek a képletek? Nem magolni kell, hanem látni: a paralelogramma egy „eltolt téglalap" (vágd le az egyik végét, tedd át a másikra) → T = a · m. A háromszög egy fél paralelogramma → osztás 2-vel. A trapéz két azonos trapézból paralelogrammává rakható → az (a + c) átlaga szorozva a magassággal.
Sokszögek belső szögösszege
Bármely sokszög felbontható háromszögekre az egyik csúcsából húzott átlókkal: az n-szögből n − 2 háromszög lesz. Ezért:
Négyszög: 2 · 180° = 360° (ismerős!), ötszög: 3 · 180° = 540°, hatszög: 720°. Szabályos sokszögnél egy szög: az összeg osztva n-nel — szabályos hatszögben 720° : 6 = 120°.
A kör részei
Sugár (r): a középpontból a körvonalig. Átmérő (d): a középponton átmenő húr — mindig d = 2r. Húr: a körvonal két pontját összekötő szakasz. Körív: a körvonal egy darabja; körcikk: a „tortaszelet".
A képletekbe mindig a sugár kell! Ha a feladat átmérőt ad meg (d = 14 cm), először felezd: r = 7 cm, és csak utána számolj kerületet vagy területet.
Középpontos tükrözés
Egy O középpontra tükrözve a P pont képe az a P′ pont, amelyre O éppen a PP′ szakasz felezőpontja. A középpontos tükrözés távolság- és szögtartó; minden egyenes képe vele párhuzamos egyenes. Középpontosan szimmetrikus pl. a paralelogramma.
O az origó. A koordináták előjelet váltanak: P′ = (−x; −y).
Testek — térgeometria
Ki a síkból, be a térbe: kocka, téglatest, hasábok és a henger — lapok, élek, felszín és térfogat.
A testek nyelve: lap, él, csúcs
Egy testet lapok határolnak; ahol két lap találkozik, ott él fut, ahol az élek összefutnak, ott csúcs van.
A kockának és a téglatestnek egyaránt 6 lapja, 12 éle és 8 csúcsa van. A különbség a lapokban van: a kocka lapjai egybevágó négyzetek, a téglatest lapjai páronként egybevágó téglalapok (3 különböző lappár).
Két új fogalom, amit gyakran kevernek: a felszín (A) a határoló lapok összterülete — mértékegysége cm², m² —, a térfogat (V) pedig az, mennyi hely van a testben — cm³, m³, liter.
A rajzokon a szaggatott élek a takarásban lévő, „hátsó" éleket jelölik — így látszik, hogy térbeli testről van szó, nem síkidomról. A testek két nagy családja: a síklapú testek (kocka, téglatest, hasábok, gúlák — csupa sokszöglap határolja őket) és a görbe felületű testek (henger, kúp, gömb).
Kocka
Minden éle egyenlő (a). Hat egybevágó négyzetlap határolja, ezért:
Nem magolás: a felszín = 6 négyzetlap területe; a térfogat = a · a · a, mert a hosszúság, szélesség, magasság mind a. Egy 3 cm élű kocka: A = 6 · 9 = 54 cm², V = 27 cm³.
A háló a test „kiterítve": vágd fel az élek mentén, és hajtsd síkba. A kocka hálója 6 egybevágó négyzet — innen a 6 · a² képlet. (A hálót összehajtogatva bármelyik lap lehet az alja: próbáld ki fejben!)
Téglatest
Élei: a, b, c. Három különböző lappárja van (a×b, a×c, b×c), mindegyikből kettő:
A hálón a három lappár három színnel látszik: 2 darab a·c-s (elöl-hátul), 2 darab a·b-s (alul-felül) és 2 darab b·c-s (kétoldalt) — pontosan ezt adja össze a felszínképlet.
Egy akvárium élei: a = 4 dm, b = 3 dm, c = 2 dm.
- Térfogat: V = 4 · 3 · 2 = 24 dm³ — és mivel 1 dm³ = 1 liter, ebbe 24 liter víz fér. (Látod, hogy ér össze a térfogat és az űrtartalom?)
- Felszín: 3 különböző lappár van: A = 2·(a·b + a·c + b·c) = 2·(12 + 8 + 6) = 52 dm² — ennyi üveg kell hozzá.
- Ellenőrzés józan ésszel: a felszín mértékegysége dm² (terület!), a térfogaté dm³ — ha nálad fordítva jött ki, valamit kevertél.
Hasábok általában
Az egyenes hasáb „kihúzott" síkidom: veszel egy sokszöget (ez az alaplap), és merőlegesen kihúzod m magasságig. A kocka és a téglatest is hasáb — négyzet, illetve téglalap alaplappal. Háromszög alaplappal háromszög alapú hasábot kapsz (mint a Toblerone doboza).
A hasáb részei: az egybevágó, párhuzamos alaplap és fedőlap, az őket összekötő oldallapok (együtt: a palást) és az oldalélek. Egyenes a hasáb, ha az oldalélek merőlegesek az alaplapra — ilyenkor az oldalél hossza éppen a test magassága (m).
A palást az oldalsó „köpeny": kiterítve egy téglalap, amelynek egyik oldala az alaplap kerülete, a másik a magasság — ezért Ppalást = Kalap · m.
Egy Toblerone-szerű doboz alaplapja háromszög: oldala 6 cm, a hozzá tartozó magasság 4 cm. A doboz 10 cm hosszú.
- Alapterület: Talap = (6 · 4) : 2 = 12 cm².
- Térfogat: V = Talap · m = 12 · 10 = 120 cm³.
- Figyelem: itt két különböző magasság szerepel — a háromszög magassága (4 cm, a területhez) és a hasáb magassága (10 cm, a térfogathoz). Ne keverd össze őket!
Henger
Ugyanez az elv kör alaplappal: a konzervdoboz. Alaplapja r sugarú kör, magassága m:
A henger részei: két egybevágó, párhuzamos alapkör és a palást. A palást kiterítve téglalap: szélessége a kör kerülete (2·r·π), magassága m. Hámozz meg gondolatban egy konzervdoboz-címkét — pontosan ezt látod.
Kitekintés — amit 8.-ban rajzolsz majd ide
A gúla (mint a piramis: egy sokszög alaplap és egy csúcsba futó oldallapok), a kúp (a gúla „kör alapú" rokona, mint a fagyitölcsér) és a gömb részletes képletei 8.-ban jönnek. Ami már most látszik: mindegyikre ugyanaz a logika működik — alaplap, palást, felszín mint „becsomagolás", térfogat mint „megtöltés".
Kerület, terület, térfogat — mikor melyik?
Klasszikus szöveges-feladat csapda, hogy melyiket kérdezik. Kösd élethelyzethez:
- Kerület (cm, m): kerítés, képkeret, szegőléc — körbemész.
- Terület / felszín (cm², m²): festés, fűmag, csomagolópapír — lefeded.
- Térfogat / űrtartalom (cm³, l): megtöltés vízzel, homokkal — beleöntesz.
Statisztika és valószínűség
Hogyan foglalunk össze sok adatot egy-két számmal, és mit jelent, hogy valami „valószínű"?
Középértékek
- Átlag: az adatok összege osztva a darabszámukkal.
- Medián: a nagyság szerint rendezett sor középső eleme (páros darabszámnál a két középső átlaga). Nem húzza el egy-egy kiugró érték.
- Módusz: a leggyakoribb érték.
- Terjedelem: a legnagyobb és a legkisebb adat különbsége.
Miért kell három középérték? Mert mást-mást mutatnak. Öt dolgozat: 5, 5, 5, 5, 1. Az átlag 4,2 — de a medián 5, és az is fontos információ, hogy négy ötös mellett egy kiugróan rossz jegy van. A kiugró érték az átlagot „lehúzza", a mediánt nem.
Adatok: 7, 3, 9, 7, 4
- Rendezés (mediánhoz kell): 3, 4, 7, 7, 9.
- Átlag: (3+4+7+7+9) : 5 = 30 : 5 = 6.
- Medián: a középső (3.) elem: 7.
- Módusz: a leggyakoribb: 7 (kétszer). Terjedelem: 9 − 3 = 6.
Gyakoriság és diagramok
A gyakoriság azt számolja, hányszor fordul elő egy érték; a relatív gyakoriság ezt az összes adathoz viszonyítja (törtként vagy százalékban). Sok kísérletnél a relatív gyakoriság a valószínűség körül „táncol" — ezt láttad a kockadobós kipróbálóban.
Diagramválasztás: oszlopdiagram = darabszámok összehasonlítása; kördiagram = részek az egészből (a százalékok 360°-on osztoznak); vonaldiagram = változás időben.
Biztos, lehetetlen, és ami közte van
A valószínűség 0 és 1 közötti szám: a lehetetlen esemény valószínűsége 0 (kockán 7-est dobni), a biztos eseményé 1 (kockán 7-nél kisebbet dobni). Minden más a kettő között van — és minél több a kedvező eset, annál közelebb az 1-hez.
Valószínűség
Ha minden kimenetel egyformán esélyes:
Dobókockán a páros dobás esélye: 3 kedvező (2, 4, 6) a 6-ból → 36 = 12. A valószínűség mindig 0 és 1 közötti szám.
Kevés dobásnál összevissza; sok dobásnál minden oszlop az 1/6 ≈ 16,7% felé közelít — ezt jelenti a valószínűség.
Szöveges feladatok
Itt áll össze minden, amit eddig ismételtünk: a szöveget lefordítjuk a matematika nyelvére, és az egyenlet elvégzi a munka nehezét.
A nagy titok: ez csak fordítás
A szöveges feladat nem attól nehéz, hogy „bonyolult a matek" — az egyenletek, amikre jutsz, általában egyszerűbbek, mint a 6. modul gyakorlófeladatai. A kihívás a fordítás: magyarról a matematika nyelvére. És mint minden fordítás, ez is gyakorlással megy egyre könnyebben.
Emlékszel a matematika térképére? Egy szöveges feladatban pontosan azt kell megkeresned: mik a számok (adatok), mi az ismeretlen (amit kérdeznek), milyen műveletek kötik össze őket, és mi az az állítás (reláció), amitől egyenlet lesz belőle. A mértékegységekre pedig végig figyelni kell.
A recept — öt lépés, mindig ugyanaz
- Olvasd el kétszer. Először csak azt figyeld, miről szól a történet. Másodszor gyűjtsd ki az adatokat — és azt, hogy mit kérdeznek.
- Jelöld ki az ismeretlent. Írd le szavakkal is: „x = Bori matricáinak száma (db)". Ha több mennyiség is ismeretlen, mindet az x-szel fejezd ki (pl. a másik: 2x vagy x + 5).
- Fordíts egyenletre. Keresd meg a szövegben azt az egy mondatot, ami két dolog egyenlőségét állítja („együtt 63-uk van", „ugyanannyit kapunk") — ebből lesz az egyenlet.
- Oldd meg a mérlegelvvel — ez már rutin.
- Ellenőrizz a szövegben, és válaszolj mondattal. Nem az egyenletbe helyettesítesz vissza (ott a fordítási hibát nem veszed észre!), hanem az eredeti történetben nézed meg: tényleg stimmel? A válasz pedig teljes mondat, mértékegységgel.
Fordítási szótár
| Ezt olvasod… | …ezt írod |
|---|---|
| egy szám kétszerese, háromszorosa | 2x, 3x |
| 5-tel nagyobb / 5-tel kisebb | x + 5 / x − 5 |
| A kétszer annyi, mint B | A = 2 · B |
| együtt, összesen | összeadás, és a végén = jel |
| egymást követő egész számok | x, x + 1, x + 2, … |
| t év múlva / t évvel ezelőtt | életkor + t / életkor − t |
| valaminek a fele, harmada | x : 2, x : 3 |
| p% engedmény utáni ár | ár · (100 − p) : 100 |
| megtett út | sebesség · idő |
Praktikus tanácsok
- Rajzolj szakaszokat! A „kétszer annyi", „5-tel több" típusú feladatok szakaszos ábrán szinte megoldják magukat — lásd az első bemutató feladatot.
- Életkorhoz, mozgáshoz: táblázat. Egy „most / később" vagy „út–sebesség–idő" táblázat rendet vág a fejedben.
- A kisebbik mennyiség legyen az x. Így a többi x + valami vagy többszörös lesz — nem kell törtekkel bajlódni.
- Becsülj előre! „Kb. 20 lehet" — ha a végén 200 jön ki, tudod, hogy valahol hiba van.
- Egységesíts. Ha az egyik adat méterben, a másik cm-ben van, először válts — a 4. modul receptje szerint.
- Ne ijedj meg a felesleges adattól. Néha a feladat többet mond, mint ami kell — a jó fordító kiszűri.
Anna és Bori együtt 63 matricát gyűjtött. Annának kétszer annyi van, mint Borinak. Mennyi matricája van külön-külön?
- Ismeretlen: a kisebbet jelöljük: x = Bori matricái (db). Ekkor Anna: 2x.
- Egyenlet (az „együtt 63" mondatból): x + 2x = 63.
- Megoldás: 3x = 63 → x = 21.
- Ellenőrzés a szövegben: Bori 21, Anna 42 — Annáé tényleg kétszer annyi ✓, együtt 63 ✓.
- Válasz: Borinak 21, Annának 42 matricája van.
A szakaszos ábrán látszik a lényeg: az egész 3 egyforma részből áll, tehát egy rész 63 : 3 = 21.
Apa 38 éves, a fia 10. Hány év múlva lesz apa pontosan kétszer olyan idős, mint a fia?
| most | t év múlva | |
|---|---|---|
| apa | 38 | 38 + t |
| fiú | 10 | 10 + t |
- Egyenlet (a „kétszer olyan idős" állításból, a jövőben): 38 + t = 2 · (10 + t).
- Megoldás: 38 + t = 20 + 2t → 18 = t.
- Ellenőrzés: 18 év múlva apa 56, a fiú 28 — és 56 = 2 · 28 ✓.
- Válasz: 18 év múlva.
Vedd észre a csapdát, amit a táblázat véd ki: az idő mindkettőjüknek telik — a t mindkét sorba bekerül!
Három egymást követő egész szám összege 84. Melyek ezek?
- Ismeretlen: x = a legkisebb szám. A másik kettő: x + 1 és x + 2.
- Egyenlet: x + (x + 1) + (x + 2) = 84 → 3x + 3 = 84.
- Megoldás: 3x = 81 → x = 27.
- Ellenőrzés: 27 + 28 + 29 = 84 ✓.
- Válasz: a 27, 28 és 29.
Gyorsítás haladóknak: három egymást követő szám összege mindig a középső háromszorosa — 84 : 3 = 28 a középső. Az egyenlet ugyanide vezet, csak lassabban és biztosabban.
Nagy ismétlő teszt
24 vegyes kérdés az összes témából. A végén megmutatom, melyik témát érdemes újra elővenni.
Minden indításnál új, véletlenszerű kérdéssor készül — nyugodtan csináld meg többször is. Tipp: papírt és ceruzát elő, számológép nélkül!
Kitekintés: Kombinatorika
Ezzel indul majd a 8. osztály — úgyhogy szerezz előnyt! A kombinatorika a „hányféleképpen?" kérdés tudománya, és sokkal barátságosabb, mint a neve.
Miről szól ez az egész?
Csupa olyan kérdésről, amivel nap mint nap találkozol:
- Hányféleképpen tudsz felöltözni reggel a ruháidból?
- Hányféle kód állítható be a biciklilakatodon — és miért olyan nehéz kitalálni?
- Hányféle sorrendben szólalhat meg a lejátszási listád?
- Hányféle ülésrend képzelhető el az osztályteremben?
- Hány mérkőzés kell egy bajnokságban, ha mindenki játszik mindenkivel?
- Mekkora eséllyel lesz telitalálatod a lottón?
Ami közös bennük: a válasz mindig egy darabszám — hányféle lehetőség van. És a trükk az, hogy ezt nem felsorolással tudjuk meg (millió lehetőséget senki sem ír össze), hanem okos számolással. Ehhez mindössze két szabály és két kérdés kell. Nézzük!
1. A szorzási szabály — és hogy MIÉRT éppen szorzás
Reggel van, választasz egy pólót (3 van), aztán egy nadrágot (2 van). Hányféle öltözet jöhet ki?
És most a miért — mert ez a lényeg. Mindegyik pólóhoz mindegyik nadrág felvehető: a piros pólóval 2 öltözet lehetséges, a kékkel is 2, a zölddel is 2. Vagyis 3 csoportunk van, mindegyikben 2 lehetőség: 2 + 2 + 2. A szorzás pedig pontosan ezt jelenti — csoportos összeadást: 3 · 2. Nem új varázslat, hanem a jó öreg szorzás, új helyzetben.
Ha egy döntést a-féleképpen, egy rákövetkezőt b-féleképpen hozhatsz meg, akkor a kettőt együtt a · b-féleképpen. És akárhány lépcsőre működik: póló · nadrág · cipő · sapka…
Példák a mindennapokból — mind ugyanez a gondolat:
- Útvonalak: a faluból a városba 3 út vezet, onnan a tópartra 2 — akárhogy mész be, onnan kétfelé mehetsz tovább: 3 · 2 = 6 útvonal.
- Menü: 3 leves, 4 főétel, 2 desszert → 3 · 4 · 2 = 24 különböző háromfogásos menü.
- Fagyizó: 2-féle tölcsér és 8-féle fagyi egy gombóchoz → 16 kombináció.
Egy biciklilakaton 3 tárcsa van, mindegyiken a 0–9 számjegyek. Hány kód állítható be?
- Három döntés egymás után: első tárcsa ÉS második ÉS harmadik → szorzási szabály.
- Fontos különbség az eddigiekhez képest: itt ismétlődhet a számjegy (a 7-7-7 is érvényes kód) — a második tárcsánál nem „fogy el" semmi, mindig mind a 10 állás választható.
- Tehát: 10 · 10 · 10 = 1000 kód (a 000-tól a 999-ig).
- Ezért véd a lakat: aki próbálgat, legrosszabb esetben 1000-szer tekerget — és minden újabb tárcsa tízszerezi a lehetőségeket. Egy 4 tárcsás lakat már 10 000 kódot tud.
2. Az összeadási szabály — amikor NEM szorzunk
A szorzási szabály csak akkor érvényes, ha a döntéseket egymás után mind meghozod („és… és…"). Van azonban egy másik helyzet: amikor egyetlen döntést hozol, csak több „polcról" válogathatsz.
A büfében 3-féle szendvics és 2-féle pizzaszelet kapható, és te egy ennivalót veszel: vagy szendvicset, VAGY pizzát. Itt nincs mit szorozni — a lehetőségek egyszerűen egymás mellé kerülnek egy közös listára: 3 + 2 = 5 lehetőség.
Még egy: Szegedre eljuthatsz 3 vonatjárattal vagy 4 buszjárattal. Egyetlen utat választasz: 3 + 4 = 7 lehetőség.
„és" — mindkét döntést meghozod, egymás után → SZORZÁS.
„vagy" — csak az egyiket teszed meg → ÖSSZEADÁS.
Minden kombinatorikafeladat olvasásakor ezt kérdezd meg először!
A kettő össze is kapcsolódhat: felsőnek pólót (3-féle) VAGY inget (2-féle) veszel — ez 3 + 2 = 5 felső. Ehhez jön a nadrág (2-féle): 5 · 2 = 10 öltözet. Előbb összeadás, aztán szorzás — a szöveg vezet.
3. Sorba rendezés — amikor MINDENKI sorra kerül
A név pontosan azt mondja, amit csinálunk: adott dolgokat (embereket, könyveket, számokat) sorba rendezünk. Mindenki szerepel, pontosan egyszer — az egyetlen kérdés, hogy milyen sorrendben. Ilyen helyzet a valóságban rengeteg van:
- hányféleképpen állhat fel az osztály az évkönyvfotóhoz;
- hányféle sorrendben pakolhatod a polcra a könyveidet;
- hányféle sorrendben játszhatja le egy album a számait (a „shuffle" gomb pont ezekből húz egyet!);
- hányféle teljes befutási sorrend lehetséges egy futóversenyen;
- hányféle ülésrend készíthető az osztályban.
Nézzük a legkisebb példán: három szín — piros, kék, sárga — hányféle sorrendbe rakható?
A számoláshoz a szorzási szabályt vetjük be, helyről helyre: az első helyre 3 szín közül választhatsz, a másodikra már csak 2 maradt, az utolsóra 1. Összesen 3 · 2 · 1 = 6 — pont ennyit számoltunk össze az ábrán. Miért csökken a szám lépésenként? Mert aki már sorban áll, az nem állhat be még egyszer — minden hely betöltésével eggyel kevesebb jelölt marad.
Ugyanígy 4 elemnél: 4 · 3 · 2 · 1 = 24, ötnél 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Erre a csökkenő szorzatra külön jel is van: n! (olvasd: „n faktoriális") — 8.-ban hivatalosan is találkozol vele.
4. Kiválasztás — amikor csak NÉHÁNYAN kerülnek sorra
Ez a név is beszédes: most nem mindenkit rendezünk sorba, hanem a sokaságból kiválasztunk néhányat. Az osztályból két felelőst, a futók közül a dobogósokat, a 90 lottószámból ötöt. És itt jön a második nagy kérdés, ami minden kiválasztós feladatnál eldöntendő: számít-e, hogy a kiválasztottak milyen szerepbe kerülnek?
Ha számít a sorrend (a szerep): 8 futó közül hányféleképpen alakulhat az arany- és az ezüstérmes? Helyről helyre: az aranyat 8-an nyerhetik, és akárki nyerte, az ezüstre már csak 7 jelölt marad: 8 · 7 = 56. (A teljes dobogó: 8 · 7 · 6 = 336.) Az „Anna arany, Bori ezüst" itt más eset, mint a fordítottja — a szerepek különböznek.
Ugyanilyen a valóságban: elnök és helyettes választása az osztályból (más, ki az elnök!), kapus és mezőnyjátékos kijelölése, vagy egy jelszó első és második karaktere. A módszer ugyanaz a helyről-helyre szorzás, mint a sorba rendezésnél — csak nem megyünk végig az összes helyen, hanem megállunk annyinál, ahányat kiválasztunk.
5. Kiválasztás, ha a sorrend NEM számít — kézfogások és lottó
Sokszor viszont a kiválasztottak közt nincs szereposztás — csak az számít, KIK kerültek be a csapatba, az nem, hogy milyen sorrendben. Ilyen a két ügyeletes kijelölése (nincs „első" és „második" ügyeletes), a pizzára választott feltétek, a bajnokság párosításai — és a leghíresebb példa, a kézfogás:
Egy társaságban mindenki mindenkivel kezet fog. Hány kézfogás ez 4 embernél?
Számoljunk a szorzási szabállyal: mind a 4 ember 3 másikkal fog kezet, ez 4 · 3 = 12. De várjunk — így minden kézfogást kétszer számoltunk (Anna–Bori és Bori–Anna ugyanaz az egy kézfogás!). Ezért osztani kell 2-vel:
4 embernél: 4 · 3 : 2 = 6 — ennyi vonal van az ábrán. Ez az osztás a kulcsgondolat, amikor a sorrend nem számít: amit a sorrendes számolás többször vett számba, azt vissza kell osztani.
Az ötöslottón 90 számból húznak ki 5-öt. A szelvényen csak az számít, MELY számok jöttek ki — a kihúzás sorrendje nem. Hány különböző szelvény létezik?
Kezdjük egészen kicsiben, mert ott minden lerajzolható: mini-lottó, 4 számból húzunk 2-t.
A húzás olyan, mint egy kis film: kigurul egy golyó (4-féle lehet), aztán még egy (már csak 3 maradt) — ez 4 · 3 = 12 lehetséges film. Csakhogy a szelvényednek teljesen mindegy, milyen sorrendben gurultak ki a számok! Ha az 1-est és a 2-est ikszelted be, nyersz akkor is, ha előbb az 1-es jött és utána a 2-es, és akkor is, ha fordítva. Ez a két különböző film ugyanaz az egy szelvény. Nézd meg az összeset:
Az ábrán tisztán látszik: a 12 film párokba rendeződik — minden szelvényhez pontosan 2 film tartozik. Ezért a filmek számát el kell osztani 2-vel: 12 : 2 = 6 különböző szelvény. Ez az egész gondolat; most már csak fel kell nagyítani.
- Az igazi lottó „filmjei": az első golyó 90-féle lehet, a második 89-féle, … az ötödik 86-féle. Ez 90 · 89 · 88 · 87 · 86 film.
- Hány film tartozik EGY szelvényhez? Annyi, ahányféle sorrendben az 5 kihúzott szám kigurulhatott volna. Ez pont a 3. pontban tanult sorba rendezés: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 sorrend. (A mini-lottónál 2 szám volt, az 2 · 1 = 2 sorrend — ezért osztottunk ott 2-vel. Itt 120-szal fogunk.)
- Osztás: a filmek számát elosztjuk 120-szal, és megkapjuk a szelvények számát: 43 949 268.
- A telitalálat esélye tehát kb. 1 a 44 millióhoz. Két sorral kiszámoltad, amit a lottózók többsége sosem számol ki.
Praktikus tanácsok
- Rajzolj fadiagramot, ha elakadsz — kis számoknál mindent megmutat, és utána már látod a szorzási szabályt.
- Listázz rendszerezetten: ha mégis felsorolsz, csináld ábécé- vagy nagyság szerinti rendben — így nem hagysz ki és nem számolsz duplán.
- Próbáld ki kicsiben: ha bizonytalan vagy a képletben, számold végig 3-4 elemre kézzel, és hasonlítsd össze.
- Tedd fel a két kérdést: egymás után döntök, vagy egyetlenegyszer? (szorzás vagy összeadás) — és számít-e a sorrend? (kell-e osztani)
Hány különböző háromjegyű szám rakható ki az 1, 2, 3 számjegyekből, ha mindegyiket pontosan egyszer használjuk?
- Szorzási szabállyal: az első számjegy 3-féle lehet, a második már csak 2-féle, a harmadik 1-féle: 3 · 2 · 1 = 6.
- Ellenőrzés rendszerezett listával (nagyság szerint): 123, 132, 213, 231, 312, 321 — tényleg 6 darab ✓
- Figyeld meg a lista rendjét: előbb az 1-gyel kezdődők, aztán a 2-vel, végül a 3-mal kezdődők — így biztosan nem marad ki egy sem.
Ötfős társaságban mindenki mindenkivel pontosan egyszer fog kezet. Hány kézfogás történik?
- Mindenki 4 másik emberrel fog kezet: 5 · 4 = 20 — de ebben minden kézfogás kétszer szerepel (mindkét résztvevőnél megszámoltuk).
- Osztás kettővel: 20 : 2 = 10 kézfogás.
- Ellenőrzés kicsiben: 3 embernél a képlet 3 · 2 : 2 = 3-at ad — és tényleg: A–B, A–C, B–C, épp 3 ✓ Ha kicsiben stimmel, nagyoban is megbízhatsz benne.